El enigma del oso: Últimos detalles

Me ha encantado que nuestro comentarista profesional Koco haya dado con la solución alternativa. Si estás leyendo esto y eres nuevo por aquí (o sea que no eres uno de nosotros 2), dirígete aquí para ver la primera parte.

La solución típica sería que el señor había empezado en el polo norte. Esa es la posición más intuitiva que cumple las condiciones. Pero no es la única. En realidad hay infinitas. Tal y como proponía Koco, cerca del polo sur hay más soluciones. Si estamos justo 1km por encima de un paralelo que tenga una circunferencia de 1km también se cumplirá el enunciado. Ver imagen:

Pero lo bueno es que no es un punto concreto si no que cualquier punto a la misma altura respecto al polo sur valdría. Por tanto hay infinitas soluciones.

¿Qué distancia sería esa por cierto? Como la Tierra es muy grande comparado con ese mísero kilómetro, podemos aproximar y decir que el área de interés es plana. ¿Así que cuanto mide la circunferencia?

c = 2·pi·r
1km = 2·pi·r

r = 1/2pi km

Y la distancia desde el polo sur será:

d = 1+1/2pi km

Pero ¿y si eliminamos todas esas soluciones, la del polo norte y las infinitas del polo sur? ¿Aún quedará alguna? O ¿puede incluso que queden aún más soluciones? ¿Más que infinito? ¿Un infinito de grado superior?

El truco es ponerse un poco más cerca del polo sur, lo justo como para que al ir dirección Este y avanzar 1km le demos DOS vueltas al paralelo. Aquí volveríamos a tener infinitos puntos de partida correctos. Y si nos acercamos un poco más podríamos dar 3 vueltas con 1km, otro infinito al saco. Cualquier número natural sirve, lo cual nos ofrece una infinita cantidad de paralelos válidos. Cada uno de ellos con infinitos puntos de los que partir.

Las distancias al polo sur son por tanto:

Para todo n que pertenezca a N (números naturales)
d = 1+1/2·pi·n km

Pero con este nuevo truco ¿tenemos más soluciones que antes o las mismas? ¿Es este infinito mayor que el anterior? ¿Se puede establecer una correspondencia unívoca entre los elementos de la solución de Koco y ésta más completa? Cuidado porque los infinitos muchas veces nos conducen a paradojas.

Es fácil comparar la infinitud de los Naturales y de los Enteros. Parece que haya más Enteros pero en realidad hay la misma "cantidad" porque podemos por ejemplo agrupar cada natural par con cada entero positivo y cada natural impar con cada entero positivo. Así ninguno quedaría desparejado. Este es un infinito de grado cero.

¿Hay más Naturales o más Racionales? Hombre ahora ya me haces dudar eh. Solo entre 0 y 1 ya tengo infinitos racionales... ¿Se pueden emparejar? ¡Pues sí se puede! Y básicamente consiste en aprovechar que un racional siempre se puede expresar como una pareja de enteros divididos. Así que son fácilmente "ordenables" y numerables. Para más detalles mirad este resumen.

Ahora bien, ¿hay más Naturales o más Reales? Pues digamos que por culpa de que los reales pueden tener una cantidad infinita de decimales que van variando de cualquier manera sin seguir un patrón y que por tanto no pueden expresarse como fracción... No pueden numerarse. Así que es un infinito de rango superior, de grado uno.

Esto choca un poco con la intuición ya que habría más elementos Reales en el rango [0,1] que racionales en todo el rango [-infinito,infinito].

En nuestro caso el infinito que sugería Koco ya es de grado uno. Así que en esta entrada no estoy dando "más" soluciones, en todo caso estoy dando soluciones más variadas.

Complejo Paradójico

Imagina que paramos a dos personas aleatoriamente por la calle y les proponemos el siguiente juego: Sacad todo el dinero que llevéis encima. El que lleve una cantidad menor se queda todo.

Así, la primera persona podría pensar: "Si pierdo me quedo sin la cantidad que llevo pero si gano es porque la otra persona tiene más, por tanto gano una cantidad mayor. ¡El juego está a mi favor!"
Pero, por supuesto, la otra persona puede hacer la misma deducción y pensar que el juego le es favorable.

Dadas dos personas aleatorias en realidad el juego es justo. Por tanto ¿Donde está el error en la deducción de ambos contrincantes?

Una pregunta para pensar, segunda parte

Ya se me había olvidado pero tenemos un post (de gran éxito) con respuesta abierta desde hace ya demasiado tiempo. El juego raro de la moneda. Recapitulando:

Nos proponen jugar a cara o cruz, si aciertas obtienes un euro y sigues jugando. Si vuelves a obtener cara ganas el doble...y así indefinidamente hasta que saques cruz y se acaba el juego.

Si calculas la esperanza (la ganancia promedio teniendo en cuenta lo que se gana en todos los posibles desenlaces ponderados según su probabilidad) obtienes que da infinito. Entonces ¿Pagarías 100€ por jugar? Koco ya dijo en los comentarios que intuitivamente no apostaría mucho más de un euro por jugar. De todas formas, que sea muy improbable no significa que no sea rentable. Hay veces que la primitiva o el euromillones acumula un bote tan grande (creo que ya no, que lo limitaron) que al final la esperanza supera el precio y comprar lotería pasa a ser matemáticamente lógico. Solo haría falta comprar todos los boletos y ganaríamos dinero seguro. Con las quinielas hay asociaciones que intentan cosas parecidas rellenando muchísimas posibilidades reuniendo el dinero entre todos.

Pero en este caso hay un pequeño fallo, si jugamos indefinidas veces ganamos infinito (o en el mundo real, una cantidad sin límite superior, indefinidamente grande) pero el problema es que las partidas tienen también un coste infinito, pero un infinito que aumenta más rápido que el de las ganancias.

Eso sí, en el mundo de las matemáticas esos dos infinitos son del mismo grado así que no perdemos nada. Es como el hotel infinito. Tiene infinitas habitaciones ocupadas todas por infinitos clientes y encima vienen otros tantos infinitos clientes que quieren alojarse también. No habrá ningún problema para alojarlos, simplemente hay que decirle a cada uno de mis inquilinos actuales que se cambie a la habitación con el número doble de la actual. Eso dejará libres infinitas habitaciones.

Por tanto, en un mundo ideal matemáticamente con posibilidad de hacer las cosas infinitas veces podríamos pagar un gritón de dólares por jugar y no perderíamos nada, siempre que tengamos la paciencia de pasar la eternidad jugando.

¿Quejas?

Edit: Se me había olvidad mencionar que este problema se llama La paradoja de San Petersburgo y ha tenido a  muchos matemáticos mosqueados durante mucho tiempo. Es más en la Wikipedia ni siquiera hay un apartado "Solución", solo hay "Propuestas de solución".

Rompiendo la Topología

Los nudos están matemáticamente estudiados, y siguen unas normas bastante estrictas, tan estrictas como puedan ser la suma o la división. Pero verdad que si divides por cero estás en cierta manera hackeando la división? Pues aquí os dejo un vídeo de Tamariz hackeando la Topología de un nudo imposible.

Aviso, tened una cuerda a mano (si os pasa igual que a mi tendréis más a mano algún cable).

Inkscape como herramienta de geometría

He tenido que dibujar una demostración geométrica y como el resultado me ha gustado os lo comparto.

Hace poco me dijo una amiga que en la Edad Media si querías obtener el rango de Maestro (Magíster matheseos) tenías que presentar una demostración inédita del teorema de Pitágoras. Me parece bastante increíble pero la Wikipedia lo corrobora y por tanto ya es cierto con total seguridad. De ahí que existan infinidad de demostraciones a cual más rebuscada. Mirad ésta qué curiosa, usando las formas del tangram:

Pues bien, he hecho unos ejercicios de Inkscape y para practicar la rejilla y el ajuste a rejilla, edición de nodos, y sección de formas he pensado que se podría dibujar esta demostración geométrica que, además, está muy bien de conocer.

Partimos del triángulo rectángulo P y dibujamos los cuadrados de los catetos y de la hipotenusa:

Ahora dibujamos los dos triángulos morados de la imagen que, fijaos bien, son idénticos. Así el cuadrado gris inferior tiene el doble de área que el triángulo, ya que tienen la misma base y la misma altura (mirado girando la cabeza a la derecha)

Cortamos el cuadrado amarillo como se ve en la siguiente figura y se genera una porción azul que también tiene el doble de área que el triángulo morado (girando la cabeza -45º aproximadamente). Por tanto el cuadrado del cateto de abajo es igual que la porción azul.

Solo faltaría ver si el cuadrado del cateto derecho coincide con la porción naranja. Para ello dibujamos estos triángulos auxiliares y pasa lo mismo que antes (girando la cabeza 180º y 235º)

Por tanto cada cateto equivale a una de las dos porciones y la suma de los dos catetos será por tanto el cuadrado de la hipotenusa completo.

¡Espero que no se os haya dislocado el cuello!

Una pregunta para pensar

Como ya sabéis, la riqueza de este blog no está en los artículos en sí, sino en los comentarios que ponéis los lectores y que enriquecen y potencian los temas que tratamos. En este caso volvéis a ser protagonistas. A ver qué os parece esta situación que os propongo.

Imaginad un trilero que os propone el siguiente juego de azar:

• Has de tirar una moneda al aire, si sale cara ganas 2 euros, si sale cruz, nada.

¿Cual sería el precio justo por jugar? Sería lo que se gana en promedio. Hay 50% de probabilidades de ganar 2 y 50% de ganar cero. La esperanza (lo que se espera ganar en promedio) por tanto es 0,5·2+0,5·0=1euro. Ese precio no me daría ventaja ni a mi ni al trilero.

Un ejemplo más complicado:

• Has de tirar una moneda al aire, si sale cara recibes un euro y puedes seguir tirando, si sale cruz se acabó.

¿Cuánto podríamos llegar a pagar por jugar?
(Si no tienes ganas de leer cosas demasiado matemáticas salta hasta que veas el próximo aviso en rojo)

La probabilidad de ganar un euro (perder a la segunda) es 1/2·1/2, la de ganar dos euros es 1/2·1/2·1/2 y en general la probabilidad de ganar n euros es 1/2^(n+1).
La esperanza de este juego sería multiplicar cada posible ganancia por su probabilidad y sumarlo todo, así:

1·(1/2)^2 + 2·(1/2)^3 + 3·(1/2)^4 + 4·(1/2)^5 + 5·(1/2)^6+...

Matemáticamente se expresa:

Esto es la suma de los infinitos elementos de una serie aritmético-geométrica, llamémosla S. Para poder calcular esa suma se sigue un procedimiento muy astuto, bastante fácil de seguir y a algunos hasta os sonará de la carrera. Se trata de considerar esa misma serie multiplicada por 1/2 para poder así desplazar todos los elementos una posición.

Queremos restar S menos S/2 para simplificar la serie pero primero hay que manipular la expresión original de S así:
Ahora sí hacemos una ecuación nueva mediante S-S/2 ya que así se anulan muchos términos y me queda solo una serie geométrica que sí tiene solución,

Aplicando la solución general de una serie geométrica (esto os debe sonar):

Sustituimos en la ecuación "nueva" que habíamos preparado y obtenemos:

Así que la esperanza en este caso es un euro, esa sería la ganancia promedio y por tanto el precio justo para jugar.


(Vale, nos reunimos aquí todos y seguimos con la visita)
Y ahora la madre del cordero, esto es a lo que veníamos, un caso similar pero paradójico:

Te proponen este juego:

• Igual que antes vas tirando mientras saques cara, si sales cruz paras.
• La primera cara obtienes un euro y a partir de ahí el doble cada vez.

Ahora la esperanza es muy fácil de calcular porque el término enésimo de probabilidad es inverso al de recompensa y queda:

Por tanto la esperanza es ganar infinito. ¿Cuanto habría que pagar por jugar? Da igual lo alto que fuera el precio, siempre sería ventajoso para el jugador. Pero eso no es muy intuitivo, está claro que si me piden 1000€ por jugar sería muy raro que los recupere, ¡tendría que sacar diez caras seguidas! Pero las matemáticas son correctas. ¿Cómo hay que interpretarlo? Si jugar costase un euro... ¿valdría la pena jugar? ¿Cuantas veces hay que jugar para que empiece a valer la pena?

Voy a parar aquí para que aportéis vuestras opiniones y razonamientos sobre ésta última paradoja.

Arqueología matemática

Os quería enseñar un poco de arqueología matemática. René Descartes es un viejo conocido de todo el que haya estudiado filosofía en el instituto pero por lo visto también destacó en matemáticas. Las famosas “Coordenadas cartesianas” se llaman así su honor, y por cierto son coherentes con su filosofía. Recordaréis que él quería construir una filosofía basándose en unos cimientos fuertes y tomar un punto de partida sólido a partir del cual ir desarrollando  el resto de conocimientos: El famoso “Cogito ergo sum”.  Asimismo ideó las dos rectas perpendiculares o ejes que se cortan en el origen de coordenadas para a partir de ahí poder representar las ideas de la geometría.

Ésta es una muestra de uno de sus libros en el que explica cómo se puede resolver una ecuación de segundo grado con las herramientas de dibujo básicas. Es interesante apreciar la nomenclatura que, pese a ser diferente, ya es comparable a la actual.

 

Después de ver este interesante resultado he tenido que comprobarlo por mí mismo. Voy a poner una ecuación de segundo grado en la misma forma del texto:

 

(Cuyas soluciones son 9 y -1)

Por tanto:
a/2=4
b= 3
Dibujo en el autocad siguiendo los pasos del texto:

Y al comprobar la distancia resultante ¡coincide con lo esperado! Eso sí, faltaría encontrar la otra solución, menos uno, pero vamos, está ahí también. Os dejo ese detalle en el aire por si queréis trastear.

La demostración de por qué este procedimiento funciona también es muy interesante porque sólo es necesario usar el Teorema de Pitágoras. La hipotenusa inicial se puede calcular como:

Aplicado a las variables de nuestro caso:

A esa H hay que sumarle un radio para obtener la distancia solución así:

Y esta fórmula ya es equivalente a la típica de resolución de ecuaciones de segundo grado:

Regla memotécnica

Pitágoras no paraba mucho en su casa, y Enusa, su esposa, aprovechaba tal situación para copular con 4 campesinos analfabetos que cuidaban sus tierras.

Un día que Pitágoras volvió temprano a casa, los sorprendió, matando a los cinco de un sólo viaje, y decidió enterrarlos, en el jardín. En consideración a su esposa dividió el terreno por la mitad y en un lado la enterró a ella. El otro lado lo dividió en cuatro partes y enterró a cada uno, en un cuadrado igual; de esa forma los cuatro ocuparon un espacio idéntico al que ocupaba la esposa. Luego subió a la montaña para meditar y, mirando desde la cima encontró la solución.

Era obvio:"El cuadrado de la puta Enusa era igual a la suma de los
cuadrados de los catetos".