martes, 22 de mayo de 2012

Una pregunta para pensar, segunda parte

Ya se me había olvidado pero tenemos un post (de gran éxito) con respuesta abierta desde hace ya demasiado tiempo. El juego raro de la moneda. Recapitulando:

Nos proponen jugar a cara o cruz, si aciertas obtienes un euro y sigues jugando. Si vuelves a obtener cara ganas el doble...y así indefinidamente hasta que saques cruz y se acaba el juego.

Si calculas la esperanza (la ganancia promedio teniendo en cuenta lo que se gana en todos los posibles desenlaces ponderados según su probabilidad) obtienes que da infinito. Entonces ¿Pagarías 100€ por jugar? Koco ya dijo en los comentarios que intuitivamente no apostaría mucho más de un euro por jugar. De todas formas, que sea muy improbable no significa que no sea rentable. Hay veces que la primitiva o el euromillones acumula un bote tan grande (creo que ya no, que lo limitaron) que al final la esperanza supera el precio y comprar lotería pasa a ser matemáticamente lógico. Solo haría falta comprar todos los boletos y ganaríamos dinero seguro. Con las quinielas hay asociaciones que intentan cosas parecidas rellenando muchísimas posibilidades reuniendo el dinero entre todos.

Pero en este caso hay un pequeño fallo, si jugamos indefinidas veces ganamos infinito (o en el mundo real, una cantidad sin límite superior, indefinidamente grande) pero el problema es que las partidas tienen también un coste infinito, pero un infinito que aumenta más rápido que el de las ganancias.

Eso sí, en el mundo de las matemáticas esos dos infinitos son del mismo grado así que no perdemos nada. Es como el hotel infinito. Tiene infinitas habitaciones ocupadas todas por infinitos clientes y encima vienen otros tantos infinitos clientes que quieren alojarse también. No habrá ningún problema para alojarlos, simplemente hay que decirle a cada uno de mis inquilinos actuales que se cambie a la habitación con el número doble de la actual. Eso dejará libres infinitas habitaciones.

Por tanto, en un mundo ideal matemáticamente con posibilidad de hacer las cosas infinitas veces podríamos pagar un gritón de dólares por jugar y no perderíamos nada, siempre que tengamos la paciencia de pasar la eternidad jugando.

¿Quejas?

Edit: Se me había olvidad mencionar que este problema se llama La paradoja de San Petersburgo y ha tenido a  muchos matemáticos mosqueados durante mucho tiempo. Es más en la Wikipedia ni siquiera hay un apartado "Solución", solo hay "Propuestas de solución".

6 comentarios:

koco dijo...

Ninguna, pero seguimos con lo mismo. Solo te sale a cuenta si juegas infinitas veces, lo cual no tiene sentido en la vida real, puesto que solo puedes jugar un numero finito de veces con un dinero finito.

Baterpruf dijo...

Que yo sepa no estamos haciendo el experimento en la vida real, ni hemos sacado euros ni los hemos lanzado al aire, ni nada... es más lo estamos comentando aquí por internet, ni siquiera la conversación pertenece al mundo real.

Habrá que ponerse en la situación, ¿no? O es que los problemas de límites de funciones se podían resolver diciendo... "Es que en el mundo real no existe el infinito".

Pues lo mismo.

Además (en caso que esto funcione bien) NO haría falta jugar infinitas veces. Solo habría que jugar tantas veces como sea necesario hasta que se gane dinero. Eso es finito.

koco dijo...

Si, si, si estoy de acuerdo. Matemáticamente no hay más que decir. Pero en tu primer post pones muy alegremente que incluso pagando 1000 euros por partida puedes recuperar tu dinero (y ganar aún más). Ahora a ver a cuantos convences. Igual han tirado 1000 veces y aun no les ha salido ni diez caras seguidas. Y ya habrán invertido 1000000 de euros. Pero eh! Las matemáticas los dicen. Sigue invirtiendo.

koco dijo...

Perdón por insistir, pero del primer post tenía la idea que querías que contestáramos si valía o no la pena jugar. Y ahí sigo, en mis trece.

kpacha dijo...

Pues estoy con koko en que el pral. problema de la paradoja está en el hecho de que el dinero no es infinito, con lo que tal vez no tenga sentido el propio planteamiento.

Si ignoramos eso, deberíamos ignorar igualmente la escasa utilidad de apostar cantidades infinitas frente a premios finitos en todos los casos (no se puede tirar un número infinto de veces, pues la probabilidad de eso es 0) o la nula utilidad de esos premios infinitos si ya tienes una cantidad infinita de dinero para jugártelo infinitas veces (a no ser que quieras responder la pregunta de cuál de los dos infinitos será mayor).

De todas formas, si según la teoría la respuesta queda en un "si apuestas una cantidad infinita de dinero, ganarás un premio infinito" no hay nada más que decir. Una frase con 2 infinitos se califica ella solita. El papel lo aguanta todo, pero no veo a nadie viviendo el tiempo suficiente como para que le salga rentable la jugada.

Y sí, para mis oxidadas nociones de mates, el problema teórico es irresoluble.

Baterpruf dijo...

Yo creo que más o menos estamos todos de acuerdo. Esos cálculos de apostar dinero infinito... no pueden tener sentido en la vida real. Por eso mismo también falla el método martíngala para ganar a la ruleta. Se basa en ir doblando la apuesta siempre que se pierda... pero claro, como pierdas 10 o 11 veces seguidas empiezan a ser cantidades muy altas:

http://www.microsiervos.com/archivo/azar/martingala-ir-doblando-ruleta.html

Pero se podrá decir algo sobre qué significa matemáticamente, no?

Diría que todo esto se resume en que infinito menos infinito es indeterminación. La misma indeterminación que permite al casero del hotel Hilbert jugar sucio con el alojamiento.

Incluso una chorrada como hacer:
20 - Tú me das un euro y yo te doy dos.
30 - GOTO 20 //infinitamente
Analizado matemáticamente no tengo porqué perder dinero. Mi primera entrega se agrupa con la primera y segunda tuyas, la segunda mía con la 3 y 4 tuyas... y se compensan infinitamente.

Para adaptar este caso a la vida real se pueden hacer varios inventos:

http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_San_Petersburgo#Propuestas_de_soluci.C3.B3n