martes, 26 de mayo de 2015

El enigma del oso: Últimos detalles

Me ha encantado que nuestro comentarista profesional Koco haya dado con la solución alternativa. Si estás leyendo esto y eres nuevo por aquí (o sea que no eres uno de nosotros 2), dirígete aquí para ver la primera parte.

La solución típica sería que el señor había empezado en el polo norte. Esa es la posición más intuitiva que cumple las condiciones. Pero no es la única. En realidad hay infinitas. Tal y como proponía Koco, cerca del polo sur hay más soluciones. Si estamos justo 1km por encima de un paralelo que tenga una circunferencia de 1km también se cumplirá el enunciado. Ver imagen:

Pero lo bueno es que no es un punto concreto si no que cualquier punto a la misma altura respecto al polo sur valdría. Por tanto hay infinitas soluciones.

¿Qué distancia sería esa por cierto? Como la Tierra es muy grande comparado con ese mísero kilómetro, podemos aproximar y decir que el área de interés es plana. ¿Así que cuanto mide la circunferencia?

c = 2·pi·r
1km = 2·pi·r

r = 1/2pi km

Y la distancia desde el polo sur será:

d = 1+1/2pi km

Pero ¿y si eliminamos todas esas soluciones, la del polo norte y las infinitas del polo sur? ¿Aún quedará alguna? O ¿puede incluso que queden aún más soluciones? ¿Más que infinito? ¿Un infinito de grado superior?

El truco es ponerse un poco más cerca del polo sur, lo justo como para que al ir dirección Este y avanzar 1km le demos DOS vueltas al paralelo. Aquí volveríamos a tener infinitos puntos de partida correctos. Y si nos acercamos un poco más podríamos dar 3 vueltas con 1km, otro infinito al saco. Cualquier número natural sirve, lo cual nos ofrece una infinita cantidad de paralelos válidos. Cada uno de ellos con infinitos puntos de los que partir.

Las distancias al polo sur son por tanto:

Para todo n que pertenezca a N (números naturales)
d = 1+1/2·pi·n km

Pero con este nuevo truco ¿tenemos más soluciones que antes o las mismas? ¿Es este infinito mayor que el anterior? ¿Se puede establecer una correspondencia unívoca entre los elementos de la solución de Koco y ésta más completa? Cuidado porque los infinitos muchas veces nos conducen a paradojas.

Es fácil comparar la infinitud de los Naturales y de los Enteros. Parece que haya más Enteros pero en realidad hay la misma "cantidad" porque podemos por ejemplo agrupar cada natural par con cada entero positivo y cada natural impar con cada entero positivo. Así ninguno quedaría desparejado. Este es un infinito de grado cero.

¿Hay más Naturales o más Racionales? Hombre ahora ya me haces dudar eh. Solo entre 0 y 1 ya tengo infinitos racionales... ¿Se pueden emparejar? ¡Pues sí se puede! Y básicamente consiste en aprovechar que un racional siempre se puede expresar como una pareja de enteros divididos. Así que son fácilmente "ordenables" y numerables. Para más detalles mirad este resumen.

Ahora bien, ¿hay más Naturales o más Reales? Pues digamos que por culpa de que los reales pueden tener una cantidad infinita de decimales que van variando de cualquier manera sin seguir un patrón y que por tanto no pueden expresarse como fracción... No pueden numerarse. Así que es un infinito de rango superior, de grado uno.

Esto choca un poco con la intuición ya que habría más elementos Reales en el rango [0,1] que racionales en todo el rango [-infinito,infinito].

En nuestro caso el infinito que sugería Koco ya es de grado uno. Así que en esta entrada no estoy dando "más" soluciones, en todo caso estoy dando soluciones más variadas.

3 comentarios:

Albert Eme dijo...

O sea, que con tal de publicar una entrada más, te metes en un lío de infinitos para acabar diciendo que no aportas mucho más que yo. Muy bonito.

Baterpruf dijo...

También se podría decir que con tal de publicar un comentario más, me estás troleando...

Albert Eme dijo...

Venga va, que en cualquier caso es muy interesante lo que explicas, como siempre. Con lo de las pelis gores veía cierto declive, pero has vuelto a subir el nivel!