Enigma de los monjes (Solución)

Ya se me había olvidado acabar el enigma de los monjes...

Este problema no es dificil si empezamos por el caso más fácil y lo vamos extrapolando. Sería un poco hacer una demostración por inducción. Es decir, primero se demuestra que un caso concreto es verdad y a continuación se demuestra que si el caso n es verdad, el n+1 también lo es. Así quedaría demostrado para todo n.

Aplicado a nuestro problema primero miramos un caso concreto, el más sencillo.
n=1 >> Solo hay un monje con marca en la frente:
-Esa noche ese monje verá que nadie tiene marcas.
-Los demás solo ven la marca de ese compañero (aún no pueden saber si ellos mismos la tienen o no)
-Alguien ha de tenerla, así que el monje deduce que él mismo la tiene.
-Al día siguiente se va.
-Por la noche cuando los demás monjes ven que falta el compañero entienden que ellos no tienen marca.

Y ahora intentamos ver que a partir de ese caso se pueden deducir inductivamente todos los demás.
n=2 >> Dos monjes con marcas.
-Los que tienen marca ven solo una, la del otro.
-Así que en principio creen que están en el caso n=1 y que mañana faltará el otro.
-Ambos deciden no irse.
-Al día siguiente en la cena siguen viendo una marca y deducen que si el otro no se ha ido es porque no estamos en el caso n=1. Por tanto ha de haber dos (3 no porque estarían viendo 2)
-Ambos deciden irse.
-Los que no tienen marca ven 2, y al cabo de dos días ven que faltan dos compañeros. Ahí entienden que ellos no tienen la marca.

Por si acaso vamos a ver el siguiente caso:
n=3 >> Hay tres marcas.
-Los que tienen marca están viendo 2 y piensan que estamos en n=2.
-Por tanto creeran que los otros dos están viendo una y que creen que están en n=1.
-Al día siguiente nadie se va. Queda descartado n=1.
-A los dos días nadie se va. Tampoco estamos en n=2.
-Ahí los 3 a la vez se dan cuenta que no es cosa de los dos marcados que están viendo sino que ha de haber un tercero y ha de ser él mismo.

Si pasan n días y tú ves que n marcados no se van, es que tú tienes la marca también, estamos en n+1, y nos vamos todos.

Así es como saben si tienen marca o no y en siete días se van siete monjes (o seis dependiendo de si cuentas también el día inicial o no)

Es curioso ponerse en la piel de un monje con marca de un total de 8 marcados. n=8.
Verá 7 y pensará que está en n=7.
Por tanto cree que la cosa no va con él y que el resto de marcados ven 6 y creen que están en n=6.
Por tanto pensarían que el resto de marcados ven 5 y creen que están en n=5.
Por tanto creerían que el resto ven 4 y crerían estar en n=4.
etc.

¡Inception!