jueves, 16 de febrero de 2012

Las frecuencias de la música

Hace poco he descubierto un pequeño detalle de las frecuencias de las notas musicales que me tenía un poco mosca. Hay varias maneras de encontrar las relaciones entre las frecuencias de las notas pero sobre todo me interesan dos:

En primer lugar siempre se ha dicho (popularizado por Pitágoras) que las notas que forman un acorde suenan bien porque las frecuencias son “compatibles”, concretamente que son múltiplos enteros unas de otras. El oído nota que las repeticiones “encajan” en algún momento, como en la imagen:



En segundo lugar un tono es un tono aquí y en la China popular, es decir, al ir subiendo una escala la proporción de aumento siempre es la misma. Como en una escala completa la frecuencia se dobla y hay un total de 12 semitonos podemos deducir qué ratio de aumento tenemos. Sería buscar un número que multiplicado 12 veces por sí mismo resulte dos. x^12=2 por tanto la ratio es 2^(1/12), raiz doceava de 2.

Por tanto se puede calcular la frecuencia de cualquier nota a partir de una referencia, típicamente el LA central a 440Hz. Para subir un semitono hay que multiplicar por la raiz doceaba de 2. Al subir toda una escala y llegar a la misma nota pero más alto tenemos el doble de frecuencia.

Do·r·r = Re
Re·r·r=Mi
...
Do·r^12=Do alto

Esas dos visiones no me parecían muy compatibles. Por ejemplo entre las frecuencias de DO y MI (que suenan bien) hay una proporción de (2^(1/12))^4 que se puede simplificar a 2^(1/3), es decir raiz cúbica de 2. No parece un número muy entero o al menos número racional. Así que las ondas no encajarían. Debe haber algún error en una de las dos explicaciones (o en ambas).

Por lo visto eso de que todos los tonos son iguales se lo han sacado de la manga para facilitar las cosas. No es “auditivamente” necesario que los tonos aumenten siempre igual, pero es muy adecuado para poder interpretar diferentes tonalidades con los instrumentos. Si no hiciesen los tonos “equidistantes” tendrían que fabricar un instrumento diferente para cada tonalidad, vamos, un horror.

¿Qué error estamos admitiendo al inventarnos esa equitonalidad en forma de serie geométrica? Podemos calcularlo. Vamos a ver qué frecuencias salen aplicando el primer criterio y el segundo para poder compararlas.

El segundo criterio es bastante fácil, solo hay que multiplicar la frecuencia base por raiz doceava de 2 si avanzo un semitono o por raiz sexta de 2 si avanzo un tono.

En el primer caso no tenemos mucha información. La relación de frecuencias que se muestra en la imagen de arriba (1 a 3) es una quinta perfecta (como cuando tocamos quintas en la guitarra). Sería por ejemplo la distancia entre Do y Sol. ¡Pues ya no necesitamos nada más! Con esa información se pueden deducir todas las frecuencias, solo que en lugar de ir ascendiendo de tono en tono, avanzamos de quinta en quinta. El orden de las notas que se obtienen queda así, es lo que se llama el “ciclo de quintas”:

Do
Sol (Do·3)
Re (Sol·3 ó Do·3^2)
La (Re·3 ó Do·3^3)
Mi (La·3 ó Do·3^4)
Si (Re·3 ó Do·3^5)
Fa# (Si·3 ó Do·3^6)
Do# (Fa#·3 ó Do·3^7)
Sol# (Do#·3 ó Do·3^8)
Re# (Sol#·3 ó Do·3^9)
La# (Re#·3 ó Do·3^10)
Fa (La#·3 ó Do·3^11=Do·177147)

Pero entonces si por ejemplo el Do fueran 100Hz el Fa sería ¿17 millones de Hz? Pues sí, pero un Fa muy alto, inaudible por supuesto. Si lo dividimos entre dos 17 veces iremos bajando la octava hasta llegar a la misma del Do inicial. El factor para el Fa quedaría (3^11)/(2^17)

Siguiendo estas indicaciones podemos obtener las frecuencias según las dos teorías:


Quintas Serie geom.
Do 1 1
Re 1,125 1,122462048
Mi 1,265625 1,25992105
Fa 1,35152435 1,334839854
Sol 1,5 1,498307077
La 1,6875 1,681792831
Si 1,8984375 1,887748625

Y obtenemos unos factores sorprendentemente cercanos. Bueno, almenos a mi me sorprende llegar a resultados tan similares siguiendo unos razonamientos y unas operaciones que no tienen nada que ver unos con otros.

Aprovecho para pedir disculpas a la Ciencia y a la Música por las posibles barbaridades que debo haber soltado sin despeinarme. Esto no es un blog serio, sabías a lo que venías.


4 comentarios:

PPi dijo...

Qué pensaba Arquímedes de esto?

O sea, según tú la armonía se basa en frecuencias cuyos valles y picos coinciden independientemente de ser de un tipo u otro. No?

Y eso es porque somos humanos... a un marciano nuestra música le parecería cacofónica?

Qué dirían pues los astrómos del siglo XVII y los primeros atomistas del XX, empeñados en encontrar la música de las esferas y de las órbitas?

La matemática es bella y por tanto la naturaleza? O somos nosotros los únicos que percibimos esa belleza.

koco dijo...

A qué huelen las nubes?

koco dijo...

Por cierto bater, me has dejado anonadado.

PPi dijo...

Perdón, no era Arquímedes sino Pitágoras el inventor de la escala.