miércoles, 29 de febrero de 2012

Acaba Febrero

Vaya, el mes se me ha acabado muy pronto. Ni me había fijado que febrero tiene menos días, y aún suerte que estamos a bisiesto.
He querido apretar un poco en la publicación de posts como Koco en Enero y mi estrategia ha sido coger alguno de los temas que me encuentro día a día y elaborarlo un poco, pasarlo a limpio. Es una buena manera de que veáis lo que me interesa y que me conozcáis un poco más. Como mis colaboraciones normalmente son de guitarra he intentado evitarlo y así no aburrir... y por eso he abusado de las matemáticas, ¡gran jugada!

Me ha faltado tiempo para desarrollar muchas de las ideas que había ido apuntando. Así que tendré combustible para ir tirando durante el año.

Un saludo especial a los dos lectores asiduos que casualmente son también escritores del blog... repercusión mundial!!!!!!! Por cierto, alguien podría coger el relevo para el mes de marzo... alguien con bemoles...

Y ya para acabar... un vídeo! Es una canción compuesta por Charles Chaplin (!!!) que he descubierto recientemente y ya es una Top Ten.


martes, 28 de febrero de 2012

pELÍCULAS

Bueno, me animo y pongo también mis películas preferidas... esta tarde después del trabajo, he estado en una librería en Portal Del Ángel por la que me gusta pasar para ver novedades y ver los grandes clásicos que van reponiendo.. y me ha vuelto el pensamiento recurrente que tengo... hay tantos buenos libros por leer... y nuestra vida es tan corta... Bueno, en el camino una buena parte iremos devorando.

El post de libros lo reduje a 10 en un gran esfuerzo, pero en este caso no tenía claro dónde cortar y la lista se ha ido un poco. No me ha importado poner los clásicos, pues muchos me recuerdan mi infancia, pues cada año los ponían por las mismas fechas. No os hago un spoiler, pero os pongo el enlace a IMDB en Español, aunque recomiendo verlas en versión original, pues ganan mucho... excepto la voz de Clint Eastwood en el doblaje que es fantástica.









Y ésta que casi me la dejo... vaya pedazo de banda sonora de Queen.

Ahora ya sabéis, a la tienda de DVD de al lado a comprarlos!

PD: He reeditado las imagenes pues no siempren se mostraban. Vaya palo, siento que los iconos no queden muy ordenados, pero el editor no permite muchas florituras.

Inkscape como herramienta de geometría

He tenido que dibujar una demostración geométrica y como el resultado me ha gustado os lo comparto.

Hace poco me dijo una amiga que en la Edad Media si querías obtener el rango de Maestro (Magíster matheseos) tenías que presentar una demostración inédita del teorema de Pitágoras. Me parece bastante increíble pero la Wikipedia lo corrobora y por tanto ya es cierto con total seguridad. De ahí que existan infinidad de demostraciones a cual más rebuscada. Mirad ésta qué curiosa, usando las formas del tangram:

Pues bien, he hecho unos ejercicios de Inkscape y para practicar la rejilla y el ajuste a rejilla, edición de nodos, y sección de formas he pensado que se podría dibujar esta demostración geométrica que, además, está muy bien de conocer.

Partimos del triángulo rectángulo P y dibujamos los cuadrados de los catetos y de la hipotenusa:


Ahora dibujamos los dos triángulos morados de la imagen que, fijaos bien, son idénticos. Así el cuadrado gris inferior tiene el doble de área que el triángulo, ya que tienen la misma base y la misma altura (mirado girando la cabeza a la derecha)

Cortamos el cuadrado amarillo como se ve en la siguiente figura y se genera una porción azul que también tiene el doble de área que el triángulo morado (girando la cabeza -45º aproximadamente). Por tanto el cuadrado del cateto de abajo es igual que la porción azul.

Solo faltaría ver si el cuadrado del cateto derecho coincide con la porción naranja. Para ello dibujamos estos triángulos auxiliares y pasa lo mismo que antes (girando la cabeza 180º y 235º)


Por tanto cada cateto equivale a una de las dos porciones y la suma de los dos catetos será por tanto el cuadrado de la hipotenusa completo.

¡Espero que no se os haya dislocado el cuello!


lunes, 27 de febrero de 2012

Una pregunta para pensar

Como ya sabéis, la riqueza de este blog no está en los artículos en sí, sino en los comentarios que ponéis los lectores y que enriquecen y potencian los temas que tratamos. En este caso volvéis a ser protagonistas. A ver qué os parece esta situación que os propongo.

Imaginad un trilero que os propone el siguiente juego de azar:
  • Has de tirar una moneda al aire, si sale cara ganas 2 euros, si sale cruz, nada.
¿Cual sería el precio justo por jugar? Sería lo que se gana en promedio. Hay 50% de probabilidades de ganar 2 y 50% de ganar cero. La esperanza (lo que se espera ganar en promedio) por tanto es 0,5·2+0,5·0=1euro. Ese precio no me daría ventaja ni a mi ni al trilero.

Un ejemplo más complicado:
  • Has de tirar una moneda al aire, si sale cara recibes un euro y puedes seguir tirando, si sale cruz se acabó.
¿Cuánto podríamos llegar a pagar por jugar?
(Si no tienes ganas de leer cosas demasiado matemáticas salta hasta que veas el próximo aviso en rojo)

La probabilidad de ganar un euro (perder a la segunda) es 1/2·1/2, la de ganar dos euros es 1/2·1/2·1/2 y en general la probabilidad de ganar n euros es 1/2^(n+1).
La esperanza de este juego sería multiplicar cada posible ganancia por su probabilidad y sumarlo todo, así:

1·(1/2)^2 + 2·(1/2)^3 + 3·(1/2)^4 + 4·(1/2)^5 + 5·(1/2)^6+...

Matemáticamente se expresa:
Esto es la suma de los infinitos elementos de una serie aritmético-geométrica, llamémosla S. Para poder calcular esa suma se sigue un procedimiento muy astuto, bastante fácil de seguir y a algunos hasta os sonará de la carrera. Se trata de considerar esa misma serie multiplicada por 1/2 para poder así desplazar todos los elementos una posición.
Queremos restar S menos S/2 para simplificar la serie pero primero hay que manipular la expresión original de S así:
Ahora sí hacemos una ecuación nueva mediante S-S/2 ya que así se anulan muchos términos y me queda solo una serie geométrica que sí tiene solución,
Aplicando la solución general de una serie geométrica (esto os debe sonar):
Sustituimos en la ecuación "nueva" que habíamos preparado y obtenemos:
Así que la esperanza en este caso es un euro, esa sería la ganancia promedio y por tanto el precio justo para jugar.


(Vale, nos reunimos aquí todos y seguimos con la visita)
Y ahora la madre del cordero, esto es a lo que veníamos, un caso similar pero paradójico:

Te proponen este juego:

  • Igual que antes vas tirando mientras saques cara, si sales cruz paras.
  • La primera cara obtienes un euro y a partir de ahí el doble cada vez.
Ahora la esperanza es muy fácil de calcular porque el término enésimo de probabilidad es inverso al de recompensa y queda:
Por tanto la esperanza es ganar infinito. ¿Cuanto habría que pagar por jugar? Da igual lo alto que fuera el precio, siempre sería ventajoso para el jugador. Pero eso no es muy intuitivo, está claro que si me piden 1000€ por jugar sería muy raro que los recupere, ¡tendría que sacar diez caras seguidas! Pero las matemáticas son correctas. ¿Cómo hay que interpretarlo? Si jugar costase un euro... ¿valdría la pena jugar? ¿Cuantas veces hay que jugar para que empiece a valer la pena?

Voy a parar aquí para que aportéis vuestras opiniones y razonamientos sobre ésta última paradoja.

sábado, 25 de febrero de 2012

lUNA, vENUS y jÚPITER

Una nueva conjunción planetaria al anochecer con la Luna, Venus y Júpiter como protagonistas. A la izquierda la podéis ver, siendo Júpiter el que aparece arriba a la izquierda... abajo a la derecha un avión que se unió a la fiesta. A la derecha y abajo unas ampliaciones. Aún estáis a tiempo de verlo si miráis hacia el Oeste.



viernes, 24 de febrero de 2012

Asimov hablando de la crisis

Esoy releyendo la saga de las Fundaciones gracias a los recientes posts que hemos hecho todos sobre nuestros libros más apreciados y me he encontrado un párrafo muy curioso. Parece estar hablando de la actual crisis financiera en la que nos han metido en lugar de hablar del derrumbe del imperio galáctico.

  • It was the most stable industry in the Galaxy. When all the Galaxy perished as a civilization, little by little, scarcely a feather's weight of a catastrophe fellupon Kalgan. No matter how the economy and sociology of the neighboring sectors of the Galaxy changed, there was always an elite; and it is always the characteristic of an elite that it possesses leisure as the great reward of its elite-hood.

Vamos, que a los ricos la crisis se la sopla, tanto ahora, como en el 1953 que se escribió la Segunda Fundación como durante toda la historia desde que el hombre es sedentario.

jueves, 23 de febrero de 2012

¿Cómo suena la quinta del lobo?

Si habéis ido siguiendo el blog en Febrero deberíais estar sufriendo una tremenda urticaria por la curiosidad de saber cómo suena el “Aullido del lobo”. No os preocupéis, aquí vengo al rescate.

Os he montado una audición para ver cómo suena una quinta normal justa y luego la quinta del lobo. También veremos que los tonos que encajan no generan batidos y en cambio los desafinados, sí. Así de paso disiparemos las dudas de Kandahar sobre qué significa “sonar bien”.

video


miércoles, 22 de febrero de 2012

Aprendiendo (o enseñando) a programar

Estos días estoy probando una web muy currada para aprender a programar desde cero. Se trata de Codecademy y de momento se centra en aprender Javascript pero se nota que tienen pensado ampliar la oferta enseñando Ruby, Python o incluso Trololo (es cierto, entrad al enlace).

Chorradas aparte las lecciones están muy bien, te explican algún concepto, te proponen un ejercicio y el programa comprueba si pones correctamente los códigos (deben ser una especie de pruebas unitarias como me explicó kpacha que hace él en su trabajo). A medida que haces más cursos se van desbloqueando "Logros" y lecciones nuevas. Se empieza de cero pero no se saltan los puntos más conflictivos. Salen cosas interesantes como la diferencia entre false, 0, null, void y undefined y su utilidad. También el uso del operador = = =, un poco de recursividad... y eso que he hecho pocas lecciones de momento:
Es una buena manera de autoaprender las bases de programación, quizás no os sirva directamente para vosotros (que seguramente ya sois bastante gurus de la programación) pero sí para recomendarlo a quien quiera empezar y que pueda seguir las explicaciones en inglés. Además hay la opción de crear nuevos cursos, aunque no lo voy a hacer mientras que no se puedan exportar para usar sin la web.

martes, 21 de febrero de 2012

Juego planetoides, ahora en serio

He completado los detalles que quedaban de la demo de Planetoides para conseguir algo jugable. En esta versión alpha 0.54b encontraréis grandes mejoras como:

  • El protagonista ahora es un personaje adorable con el que os identificaréis enseguida.
  • Hay una pantalla de título para darle un aire más profesional.
  • Ahora hay una meta, el objetivo es llegar al planeta blanco. Al conseguirlo simplemente el juego se reinicia. Podría poner un cronómetro para ver quién tarda menos. Hay un cronómetro para ver quién tarda menos.
  • He podido solucionar más o menos la posición de la cámara. Blender facilita ciertos automatismos como "Parent" y "Track to" para el movimiento de la cámara, pero en este caso en que a veces estamos cabeza abajo no funcionaban bien. Así que al final ha sido necesario Python y otro vector director . Así se desplaza con suavidad y se sitúa en una posición que permite ver los planetas cercanos.
Podéis descargar planetoides aquí. Se ejecuta igual que el anterior, mediante Blender 2.61 y pulsar P.

Por último para facilitaros el acceso he descubierto un plugin para reproducir archivos Blender directamente en el navegador. Así podríais usarlo directamente aquí abajo:


viernes, 17 de febrero de 2012

Las frecuencias de la música 2: La venganza

En la primera parte hablábamos de que no es compatible obtener las frecuencias de las notas mediante el concepto de “quinta perfecta” (proporción 3/2) o mediante una serie geométrica. Pero de las dos maneras se llega a unas frecuencias muy parecidas. Más tarde, pensando un poco más, he visto que el ciclo de quintas perfectas tampoco es compatible con la noción de escalas musicales. En el ciclo de quintas que teníamos solo faltaba avanzar un paso más para volver al origen, Do:
Do
Sol (Do·3)
Re (Sol·3 ó Do·3^2)
La (Re·3 ó Do·3^3)
Mi (La·3 ó Do·3^4)
Si (Re·3 ó Do·3^5)
Fa# (Si·3 ó Do·3^6)
Do# (Fa#·3 ó Do·3^7)
Sol# (Do#·3 ó Do·3^8)
Re# (Sol#·3 ó Do·3^9)
La# (Re#·3 ó Do·3^10)
Fa (La#·3 ó Do·3^11=Do·177147)
Do (Do*3^12=531441)

Para volver a la escala base podríamos dividir entre 2^19=524288

Por supuesto! Si avanzamos multiplicando por 3 y retrocedemos dividiendo entre dos es imposible volver al mismo número inicial. Tenemos una diferencia porcentual:

531441/524288=1,01364326

Un 1,4% de error... Será audible? Quizás escuchando la nota individualmente no se oiga mal, pero al hacer sonar dos notas esos pequeños fallos de afinación se acentúan por la aparición de interferencias periódicas que se suelen llamar batidos, ñam.

A ver, no quiero enrollarme otra vez pero esta vez en vez de ir dando palos de ciego me he documentado mínimamente y por lo visto:

  • -Pitágoras ya le había dado muchas vueltas a todo este tema, al error de 1,4% le llamaba comma y lo solucionaba mediante la quinta del lobo (porque suena como el aullido de un lobo WTF!), que sería generar todas las notas mediante el ciclo de quintas menos la octava, que se calcula como el doble. Por tanto acumulaba todo el error en la última nota.
  • -Temperamento igual: Intenta minimizar el error repartiéndolo por toda la escala, es decir una doceava parte del error en cada semitono. En este caso el pequeño error se llama schisma y se expresa como:

  • -Hay más opciones, ésta me ha parecido muy interesante. Da la vuelta mediante 53 quintas y reparte el error mucho más.
  • -La gran obra de Bach “El clave bien temperado” tiene algo que ver con todo esto.
  • -Por último aquí os dejo un documento que elabora todos estos temas mucho mejor y más ampliamente.

jueves, 16 de febrero de 2012

Las frecuencias de la música

Hace poco he descubierto un pequeño detalle de las frecuencias de las notas musicales que me tenía un poco mosca. Hay varias maneras de encontrar las relaciones entre las frecuencias de las notas pero sobre todo me interesan dos:

En primer lugar siempre se ha dicho (popularizado por Pitágoras) que las notas que forman un acorde suenan bien porque las frecuencias son “compatibles”, concretamente que son múltiplos enteros unas de otras. El oído nota que las repeticiones “encajan” en algún momento, como en la imagen:



En segundo lugar un tono es un tono aquí y en la China popular, es decir, al ir subiendo una escala la proporción de aumento siempre es la misma. Como en una escala completa la frecuencia se dobla y hay un total de 12 semitonos podemos deducir qué ratio de aumento tenemos. Sería buscar un número que multiplicado 12 veces por sí mismo resulte dos. x^12=2 por tanto la ratio es 2^(1/12), raiz doceava de 2.

Por tanto se puede calcular la frecuencia de cualquier nota a partir de una referencia, típicamente el LA central a 440Hz. Para subir un semitono hay que multiplicar por la raiz doceaba de 2. Al subir toda una escala y llegar a la misma nota pero más alto tenemos el doble de frecuencia.

Do·r·r = Re
Re·r·r=Mi
...
Do·r^12=Do alto

Esas dos visiones no me parecían muy compatibles. Por ejemplo entre las frecuencias de DO y MI (que suenan bien) hay una proporción de (2^(1/12))^4 que se puede simplificar a 2^(1/3), es decir raiz cúbica de 2. No parece un número muy entero o al menos número racional. Así que las ondas no encajarían. Debe haber algún error en una de las dos explicaciones (o en ambas).

Por lo visto eso de que todos los tonos son iguales se lo han sacado de la manga para facilitar las cosas. No es “auditivamente” necesario que los tonos aumenten siempre igual, pero es muy adecuado para poder interpretar diferentes tonalidades con los instrumentos. Si no hiciesen los tonos “equidistantes” tendrían que fabricar un instrumento diferente para cada tonalidad, vamos, un horror.

¿Qué error estamos admitiendo al inventarnos esa equitonalidad en forma de serie geométrica? Podemos calcularlo. Vamos a ver qué frecuencias salen aplicando el primer criterio y el segundo para poder compararlas.

El segundo criterio es bastante fácil, solo hay que multiplicar la frecuencia base por raiz doceava de 2 si avanzo un semitono o por raiz sexta de 2 si avanzo un tono.

En el primer caso no tenemos mucha información. La relación de frecuencias que se muestra en la imagen de arriba (1 a 3) es una quinta perfecta (como cuando tocamos quintas en la guitarra). Sería por ejemplo la distancia entre Do y Sol. ¡Pues ya no necesitamos nada más! Con esa información se pueden deducir todas las frecuencias, solo que en lugar de ir ascendiendo de tono en tono, avanzamos de quinta en quinta. El orden de las notas que se obtienen queda así, es lo que se llama el “ciclo de quintas”:

Do
Sol (Do·3)
Re (Sol·3 ó Do·3^2)
La (Re·3 ó Do·3^3)
Mi (La·3 ó Do·3^4)
Si (Re·3 ó Do·3^5)
Fa# (Si·3 ó Do·3^6)
Do# (Fa#·3 ó Do·3^7)
Sol# (Do#·3 ó Do·3^8)
Re# (Sol#·3 ó Do·3^9)
La# (Re#·3 ó Do·3^10)
Fa (La#·3 ó Do·3^11=Do·177147)

Pero entonces si por ejemplo el Do fueran 100Hz el Fa sería ¿17 millones de Hz? Pues sí, pero un Fa muy alto, inaudible por supuesto. Si lo dividimos entre dos 17 veces iremos bajando la octava hasta llegar a la misma del Do inicial. El factor para el Fa quedaría (3^11)/(2^17)

Siguiendo estas indicaciones podemos obtener las frecuencias según las dos teorías:


Quintas Serie geom.
Do 1 1
Re 1,125 1,122462048
Mi 1,265625 1,25992105
Fa 1,35152435 1,334839854
Sol 1,5 1,498307077
La 1,6875 1,681792831
Si 1,8984375 1,887748625

Y obtenemos unos factores sorprendentemente cercanos. Bueno, almenos a mi me sorprende llegar a resultados tan similares siguiendo unos razonamientos y unas operaciones que no tienen nada que ver unos con otros.

Aprovecho para pedir disculpas a la Ciencia y a la Música por las posibles barbaridades que debo haber soltado sin despeinarme. Esto no es un blog serio, sabías a lo que venías.